\\exp\\left(-\\frac{\\left^2}{2\\sigma^2}\\right)|
cdf =|
mean =e μ+ σ 2 /2 |
median =e μ |
mode =e μ- σ 2 |
variance =(e σ 2 !!-1) e 2 μ + σ 2 |
skewness =(e σ 2 !!+2) | √ | –––––––––––––– e σ 2 !!-1 |
|
kurtosis =e 6 σ 2 -4e 3 σ 2 +6e σ 2 -3 –––––––––––––––––––––––––––––––––––– e 4 μ + 2 σ 2 (e σ 2 -1) 4 |
|
entropy =1 –– 2 | + | 1 –– 2 | ln(2 π σ 2 ) + μ |
|
mgf =|
char =|
}}
En Probabilité et Statistique, une Variable aléatoire X est dite suivre une loi log-normale de paramètres μ et σ si la variable Y=ln(X) suit une loi normale de paramètres μ et σ.
Une variable peut être modélisée par une loi log-normale si elle est le résultat de la multiplication d'un grand nombre de petits facteurs indépendants.
Caractérisation
Densité
La loi log-normale de paramètres
μ et
σ admet pour densité
f (x; μ, σ) = | e - ( l n x - μ ) 2 /(2 σ 2 ) –––––––––––––––––––––––––––––––– x σ√(2 π) |
pour x>0. μ et σ sont la Moyenne and l'écart type du logarithme de la variable (puisque par définition, le logarithme de la variable est distribué selon une loi normale de moyenne μ et d'écart-type σ).
Fonction de répartition
Moments
Tous les moments existent et sont donnés par:
μ k = e k μ+k 2 σ 2 /2 .
Espérance et écart-type
L'
Espérance est
E(X) = e μ + σ 2 /2
et la Variance est
Var(X) = (e σ 2 - 1) e 2 μ + σ 2 .
Des relations équivalentes permettent d'obtenir μ et σ étant données l'espérance et l'écart-type:
μ = ln(E(X))- | 1 –– 2 | ln | ( | 1+ | Var(X) ––––––––– (E(X)) 2 | ) | , |
σ 2 = ln | ( | Var(X) ––––––––– (E(X)) 2 | +1 | ) | . |