\\exp\\left(-\\frac{\\left^2}{2\\sigma^2}\\right)|

  cdf        =
1
––
2
 + 
1
––
2
  erf
|
  mean       =e  μ+ σ 2 /2 |
  median     =e  μ |
  mode       =e  μ- σ 2  |
  variance   =(e  σ 2  !!-1) e 2  μ +   σ 2  |
  skewness   =
(e  σ 2  !!+2)
√
 
––––––––––––––
e  σ 2  !!-1
 |
  kurtosis   =
e 6  σ 2  -4e 3  σ 2  +6e  σ 2  -3
––––––––––––––––––––––––––––––––––––
e 4  μ + 2  σ 2  (e  σ 2  -1) 4|
  entropy    =
1
––
2
 + 
1
––
2
  ln(2 π σ 2 ) + μ|
  mgf        =|
  char       =|

}}

En Probabilité et Statistique, une Variable aléatoire X est dite suivre une loi log-normale de paramètres μ et σ si la variable Y=ln(X) suit une loi normale de paramètres μ et σ.

Une variable peut être modélisée par une loi log-normale si elle est le résultat de la multiplication d'un grand nombre de petits facteurs indépendants.

Caractérisation

Densité

La loi log-normale de paramètres μ et σ admet pour densité

f (x; μ, σ) =

e - ( l n x   -   μ ) 2 /(2 σ 2 ) –––––––––––––––––––––––––––––––– x σ√(2 π)

pour x>0. μ et σ sont la Moyenne and l'écart type du logarithme de la variable (puisque par définition, le logarithme de la variable est distribué selon une loi normale de moyenne μ et d'écart-type σ).

Fonction de répartition

1 –– 2

+

1 –– 2

erf

Moments

Tous les moments existent et sont donnés par:

μ _k = e ^{k μ+k 2 σ 2 /2} .

Espérance et écart-type

L'Espérance est

E(X) = e ^{μ + σ 2 /2}

et la Variance est

Var(X) = (e ^{σ 2}  - 1) e ^{2 μ   +   σ 2} .

Des relations équivalentes permettent d'obtenir μ et σ étant données l'espérance et l'écart-type:

μ = ln(E(X))-

1 –– 2

ln

(

1+

Var(X) ––––––––– (E(X)) 2

)

,

σ 2 = ln

(

Var(X) ––––––––– (E(X)) 2

+1

)

.